向量相乘怎么算（高中数学“向量的数乘运算”知识点详解）

一、引言

向量是数学中的重要概念，具有大小和方向两个基本属性。向量的数乘运算是向量运算的基础之一，它在解决实际问题以及进行数学推导时具有广泛的应用。本文将详细解析“向量的数乘运算”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握向量的相关性质和应用。

二、向量的数乘定义

向量的数乘是指一个实数与一个向量相乘的运算，其结果是一个新的向量。具体地，对于任意实数λ和向量→a，λ与→a的数乘结果记作λ→a，其定义如下：

1. |λ→a| = |λ| × |→a|，即新向量的模等于实数绝对值与原向量模的乘积。
2. 当λ > 0时，λ→a的方向与→a相同；当λ < 0时，λ→a的方向与→a相反；当λ = 0时，λ→a是零向量。

三、向量的数乘性质

1. 结合律：对于任意实数m、n和向量→a，有(m×n)→a = m×(n→a)。
2. 分配律：对于任意实数m、n和向量→a、→b，有(m+n)→a = m→a + n→a，m(→a+→b) = m→a + m→b。
3. 单位元：对于任意向量→a，有1×→a = →a。
4. 零元：对于任意向量→a，有0×→a = →0。
5. 逆元：对于任意非零实数λ和向量→a，有(1/λ)×(λ→a) = →a（λ≠0）。

四、向量的数乘运算规则

1. 与零向量的数乘：对于任意实数λ和零向量→0，有λ×→0 = →0。
2. 与单位向量的数乘：对于任意实数λ和单位向量→e（|→e| = 1），有λ×→e = λ→e，即新向量的模等于实数的绝对值，方向与单位向量的方向相同或相反。
3. 与共线向量的数乘：对于任意实数λ和共线向量m→a（m为实数），有λ×(m→a) = (λ×m)→a。这个性质说明共线向量的数乘结果仍然是共线向量。
4. 与不共线向量的数乘：对于任意实数λ和不共线向量→a、→b，λ×(→a+→b) = λ×→a + λ×→b。这个性质说明不共线向量的数乘满足分配律。

五、典型例题分析

1. 例1：已知向量→a=(2,3)，求3×→a和-2×→a。
   解：根据向量的数乘运算规则，有3×→a = 3×(2,3) = (6,9)，-2×→a = -2×(2,3) = (-4,-6)。
2. 例2：已知|→a|=5，|2×→a|=8，求|3×→a|。
   解：由|2×→a|=8可知，2|→a|=8，解得|→a|=4。因此，|3×→a| = 3|→a| = 3×4 = 12。
3. 例3：已知向量→e₁=(1,0)，→e₂=(0,1)是单位向量，求5×(3×→e₁-2×→e₂)。
   解：根据向量的数乘运算规则和分配律，有5×(3×→e₁-2×→e₂) = 5×3×→e₁ - 5×2×→e₂ = 15×(1,0) - 10×(0,1) = (15,-10)。