三角形中线的性质是什么（几何三角形中线定理）

三角形中线定理：

AB²+AC²＝2（AD²+BD²）

AD²＝1/2AB²+1/2AC²－1/4BC²

什么是三角形中线：

　　三角形中线是三角形中从某条边的中点连向对角的顶点的线段。一个三角形有3条中线。

如图，三角形ABC中，BC这条边的中点D,连接对角的顶点A，BD=DC,AD就是三角形的中线。

　　每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部，如图△ABC中，AF=BF，AE=CE，BD＝CD，AD、BE、CF就是三角形的中线。

我们用三角形勾股定理来推理：

首先作△ABC，BC边上的高AE，AD为中线，

由勾股定理得出：

AB²＝AE²+BE²，

因为，BE＝BD+DE，

所以，AB²＝AE²+(BD+DE)²，

用完全平方公式，把(BD+DE)²，分解成：

BD²+DE²+2BD·DE

得到：

AB²＝AE²+BD²+DE²+2BD·DE

勾股定理得出，

AC²＝AE²+CE²，

因为，CE＝CD－DE，

又，BD＝CD，为了容易看清楚，统一用BD表示，

所以，AC²＝AE²+(BD－DE)²，

用完全平方公式，把(BD－DE)²，分解成：

BD²+DE²－2BD·DE，

得到：

AC²＝AE²+BD²+DE²－2BD·DE，

勾股定理得出，

AD²＝AE²+DE²，

把，AB²+AC²＝AE²+BD²+DE²+2BD·DE+AE²+BD²+DE²-2BD·DE

化简后，得到：

AB²+AC²＝2（AE²+BD²+DE²）

因为，

AD²＝AE²+DE²

替换上去得到，

AB²+AC²＝2（AD²+BD²）

因为，

AB²+AC²＝2×（AD²+BD²）

那么，

1/2 AB²+1/2 AC²=AD²+BD²

AD²=1/2 AB²+1/2 AC²－BD²

因为，

BD＝BC的一半，一半的平方＝1/4全长平方，

那么,

BD²=1/4 BC²

最终，

AD²=1/2 AB²+1/2 AC²－1/4 BC²